COMBINACION ANALISIS COMBINATORIO FABELA SALDIVAR ANA GABRIELA

Dado un conjunto de n elementos, se denomina combinaciones de tamaño r a todos los conjuntos que se pueden formar con r elementos tomados de entre los n elementos, de modo que cada conjunto difiera de los demás en por lo menos un elemento.

Siguiendo con el mismo ejemplo, si en un grupo de 10 personas se elegirá a 5 para tomarles una foto, ¿cuántos grupos de 5 pueden formarse, si el orden no importa?

Si el orden importara, habría A¹⁰₅ disposiciones diferentes. Pero en este caso no interesa el orden, así que si una de las posibilidades es Juan, María, Luis, Ana y Pedro, entonces la permutación Luis, Pedro, María, Ana y Juan corresponde a la misma combinación. Cada grupo de 5 personas puede ordenarse de 5! formas diferentes. Así, cada combinación corresponde a 5! permutaciones. Por lo tanto, el número de combinaciones satisface P5.(nº de combinaciones) = A¹⁰₅
o sea que el número de combinaciones es igual a

  10

 A5

---- = 252

 P5

En general, dados n objetos distintos, el número de combinaciones de tamaño r de estos objetos, con 0 <= r <= n, se denota Cⁿ_r y corresponde a

n    n    Ar       n! Cr = ---- = --------        Pr    r!(n-r)!

Se lee "combinaciones de n en r".

Ejemplo

Dadas las letras a, b, c existen 3 combinaciones de tamaño 2.

 3    3!

C2 = ---- = 3

     2!1!

Las 3 combinaciones son:
a b
a c
b c

Combinaciones complementarias

  n    n 

 Cr = Cn-r 

Demostración:

 n            n!             n!       n

Cn-r = ---------------- = -------- = Cr 

       (n-r)!(n-(n-r))!   (n-r)!r!

Ejemplo

Resolver la siguiente ecuación:

 10     10      

Cx+2 = C3x 

Hay dos posibilidades:

• que las combinaciones sean idénticas, es decir que x+2 = 3x => 2x = 2 => x = 1.
• O que sean combinaciones complementarias, en cuyo caso x + 2 + 3x = 10, o sea 4x = 8, o sea x = 2.